POJ（1061 青蛙的约会扩展欧几里德求解不定方程）

spoiler posted @ 2011年5月06日 16:15 in 数论 , 6861 阅读

题目大意：

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

题目分析：首先青蛙A B 相遇必须满足：( x+ m*s ) - ( n*s + y ) = k*L; 这里 s 代表他们跳的步数，k代表他们在第几圈相遇！

这里如果你想尝试枚举的话，只能说这里的浮动性太大了，谁能确定 s 的范围呢，又有谁知道最小的 s 是多大呢，这个也许
会很大的！所以只能用扩展的欧几里德求这个不定方程！

求解不定方程： ( x+ m*s ) - ( n*s + y ) = k*L 首先我们把这个方程变形： s * ( n - m) + k* L = x -y ; 注意观察这个方程, 这就是所谓的线性同余方程，对于这种方程，如果有解必须满足（x - y）% gcd ( n-m, L )==0 不然就无解，输出Imposible！

这里通过看别人的总结与自己看书，介绍一下怎么用欧几里德扩展求不定方程：

设标准方程式为： a*x +b*y =d (a,b已知)

第一步：

首先求出gcd(a,b) ，然后化简方程，使得a/=gcd(a,b); b/=gcd(a,b); d/=gcd(a,b);

这样的话化简过后的 a,b就是互质的啦！（下面说的a,b 都是已经化简过的注意哦不再声明了）

第二步：

先求出 a*x+b*y=gcd(a,b) 的一组特解，也就是方程 a*x+b*y=1 的一个特解（a,b互质所以最大公约数为1！）

然后将特解（x0, y0）代入方程，并变形： a* x0 *d + b* y0 *d= d 再仔细看看， (x=x0*n ,y=y0*n) 这不是
第一步里面化简后的标准方程的一组解麽？然后我已经求得标准方程的一组解了，继续讨论解系里面的最小值吧！

第三步：

根据解系的公式： x =x1 + b* t ; y =y1 - a *t; 我们首先假设他最小的解x=0 ，然后求出此时的 t=-x1/b; 然后带入

求最小的解x=x1+b*t=x1 - b*t ;因为此时的t为负数，减去他的负数，就是等于加上他！

代码+部分注释：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long gcd(long long a,long long b){
	long long c;
	if(a<b){
		c=a;	a=b;
		b=c;
	}
	while(b){
		c=b;
		b=a%b;
		a=c;
	}
	return a;
}
long long extended_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
	long long ans,t;
	if(b==0){
		x=1;	y=0;
		return a;
	}
	else{
		ans=extended_gcd(b,a%b,x,y);
		t=x;	x=y;
		y=t-(a/b)*y;
	}
	return ans;
}
int main(){
	long long x,y,m,n,l;
	long long a,b,d,k,s,t;
	while(scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF){
		a=n-m;
		b=l;
		d=x-y;
		long long r=gcd(a,b);
		if(d%r!=0){
			printf("Impossible\n");
			continue;
		}
		a/=r;
		b/=r;
		d/=r;
		extended_gcd(a,b,s,k);
		s=s*d;
		k=k*d;
		t=s/b;
		s=s-t*b;
		if(s<0)
			s+=b;
		printf("%lld\n",s);
	}
	return 0;
}